آزمایشگاه تعاملی ریاضیات مهندسی — آنالیز فوریه و معادلات گرما

بخش ۴صفحات ۷۲ تا ۱۰۵ جزوهتسلط این فصل: 0%پیشرفت کل دوره: 0%

تبدیل فوریه و قضایای کاربردی آن (Fourier Transform Handbook)

جزوه جامع تبدیل فوریه مختلط، قضایای تقارن، انتقال، مدولاسیون، مقیاس، مشتق و انتگرال، کانولوشن، پارسوال، تبدیل‌های سینوسی/کسینوسی و حل معادلات PDE

معماری چیدمان:

بوم عریض شبیه‌سازی (Wide Canvas)(بهینه‌سازی‌شده برای معادلات با مشتقات جزئی (گرما، موج) و اشتورم-لیوویل: فضای عریض برای شبیه‌ساز تصویری و استقرار همزمان درس‌نامه و حل گام‌به‌گام.)

بخش ۴ ریاضی مهندسیصفحات ۷۲ تا ۱۰۵ جزوه دکتر طائری۱۶ جفت تبدیل استاندارد

جزوه جامع و شبیه‌ساز تحلیلی تبدیل فوریه و قضایای بنیادین

کامل‌ترین مرجع آموزشی تبدیل فوریه مختلط، قضایای تقارن و دوگانی، انتقال زمان و فرکانس، مدولاسیون، مقیاس، اصل عدم قطعیت هایزنبرگ-گابور، مشتق، کانولوشن، اتحاد پارسوال و حل معادلات PDE.

جدول مرجع جامع تبدیل فوریه (جدول ۱ جزوه - صفحه ۱۰۵)

آرشیو کامل ۱۶ جفت تبدیل فوریه با فرمول دقیق، خواص، کاربرد و انرژی پارسوال

دسته‌بندی:

پالس مستطیلی متقارن (Gate / Rect Function)

پایه‌ای و ناپیوسته

حوزه مکان / زمان f(x):

p_a(x) = \begin{cases} 1 & |x| < a \\ 0 & |x| > a \end{cases}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{2\sin(a\alpha)}{\alpha} = 2a\,\operatorname{sinc}\left(\frac{a\alpha}{\pi}\right)

مقدار DC:

F(0) = 2a

روش: انتگرال مستقیم تعریف روی بازه $[-a, a]$ و ساده‌سازی به کمک فرمول اویلر

تابع برش فرکانسی سینک (Sinc Function)

قضیه تقارن و دوگانی

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = \frac{\sin(ax)}{x}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \begin{cases} \pi & |\alpha| < a \\ 0 & |\alpha| > a \end{cases}

مقدار DC:

F(0) = \pi

روش: اعمال مستقیم قضیه تقارن (Duality) روی تبدیل فوریه پالس مستطیلی

نمایی دوطرفه متقارن (Laplace Distribution)

پایه‌ای و پیوسته

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = e^{-a|x|}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{2a}{a^2 + \alpha^2}

مقدار DC:

F(0) = \frac{2}{a}

روش: تجزیه به دو انتگرال روی $(-\infty, 0]$ و $[0, \infty)$ با خاصیت زوج بودن

تابع لورنتس / کوشی (Lorentzian Profile)

قضیه تقارن و دوگانی

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{\pi}{a} e^{-a|\alpha|}

مقدار DC:

F(0) = \frac{\pi}{a}

روش: اعمال قضیه تقارن $\mathcal{F}[F(x)] = 2\pi f(-\alpha)$ روی نمایی دوطرفه

نمایی یک‌طرفه علّی (Causal Exponential)

توابع علّی و مختلط

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = e^{-ax} u(x) = \begin{cases} e^{-ax} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{1}{a + i\alpha} = \frac{a - i\alpha}{a^2 + \alpha^2}

مقدار DC:

F(0) = \frac{1}{a}

روش: انتگرال‌گیری مستقیم روی نیم‌خط مثبت $[0, \infty)$

نمایی دوطرفه فرد (Sign Damped Exponential)

توابع فرد خالص

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = e^{-a|x|}\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} e^{-ax} & x > 0 \\ -e^{ax} & x < 0 \end{cases}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{-2i\alpha}{a^2 + \alpha^2}

مقدار DC:

F(0) = 0

روش: انتگرال فوریه فرد خالص (بخش حقیقی صفر و بخش موهومی سینوسی)

تابع گاوسی (Gaussian Wavepacket / Heat Kernel)

خودمتشابه (Eigenfunction)

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = e^{-a x^2}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-\frac{\alpha^2}{4a}}

مقدار DC:

F(0) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}

روش: تشکیل معادله دیفرانسیل مرتبه اول $F'(\alpha) + \frac{\alpha}{2a}F(\alpha) = 0$ و حل آن

پالس مثلثی متقارن (Triangle Pulse / Bartlett)

کانولوشن دو پالس

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = \begin{cases} 1 - \frac{|x|}{a} & |x| < a \\ 0 & |x| \ge a \end{cases}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = a\left[\frac{\sin(a\alpha/2)}{a\alpha/2}\right]^2 = \frac{2(1 - \cos(a\alpha))}{a\alpha^2}

مقدار DC:

F(0) = a

روش: کانولوشن دو پالس مستطیلی با عرض $a$ یا انتگرال جز‌ءبه‌جزء مستقیم

ضرب مکان در نمایی دوطرفه (Frequency Derivative $x f(x)$)

قضیه مشتق فرکانس

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = x e^{-a|x|}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{-4ia\alpha}{(a^2 + \alpha^2)^2}

مقدار DC:

F(0) = 0

روش: اعمال قضیه مشتق فرکانس $\mathcal{F}[x f(x)] = i\frac{d}{d\alpha}F(\alpha)$ روی نمایی دوطرفه

ضرب مکان توان دو در نمایی دوطرفه ($x^2 f(x)$)

قضیه مشتق فرکانس

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = x^2 e^{-a|x|}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{4a(3\alpha^2 - a^2)}{(a^2 + \alpha^2)^3}

مقدار DC:

F(0) = \frac{4}{a^3}

روش: دو بار اعمال قضیه مشتق فرکانس $\mathcal{F}[x^2 f(x)] = -\frac{d^2}{d\alpha^2}F(\alpha)$

مدولاسیون کسینوسی نمایی (Cosine Modulation)

مدولاسیون و شیفت فرکانسی

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = e^{-a|x|}\cos(\omega_0 x)

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{a}{a^2 + (\alpha - \omega_0)^2} + \frac{a}{a^2 + (\alpha + \omega_0)^2}

مقدار DC:

F(0) = \frac{2a}{a^2 + \omega_0^2}

روش: قضیه مدولاسیون فرکانس $\mathcal{F}[f(x)\cos(\omega_0 x)] = \frac{1}{2}[F(\alpha-\omega_0) + F(\alpha+\omega_0)]$

مدولاسیون سینوسی نمایی (Sine Modulation)

مدولاسیون و شیفت فرکانسی

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = e^{-a|x|}\sin(\omega_0 x)

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{ia}{a^2 + (\alpha + \omega_0)^2} - \frac{ia}{a^2 + (\alpha - \omega_0)^2}

مقدار DC:

F(0) = 0

روش: قضیه مدولاسیون فرکانس با استفاده از فرمول اویلر برای سینوس $\sin(\omega_0 x) = \frac{e^{i\omega_0 x} - e^{-i\omega_0 x}}{2i}$

تابع ضرب مکان در گاوسی ($x e^{-ax^2}$)

قضیه مشتق فرکانس

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = x e^{-a x^2}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \frac{-i\alpha}{2a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-\frac{\alpha^2}{4a}}

مقدار DC:

F(0) = 0

روش: اعمال قضیه مشتق فرکانس $\mathcal{F}[x e^{-ax^2}] = i\frac{d}{d\alpha}\left[\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{\alpha^2}{4a}}\right]$

کانولوشن دو تابع نمایی ($(e^{-a|x|} * e^{-a|x|})$)

قضیه کانولوشن زمان

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = \frac{1 + a|x|}{a} e^{-a|x|}

تبدیل فوریه F(α):

F(\alpha) = \left[\frac{2a}{a^2 + \alpha^2}\right]^2 = \frac{4a^2}{(a^2 + \alpha^2)^2}

مقدار DC:

F(0) = \frac{4}{a^2}

روش: قضیه کانولوشن $\mathcal{F}[f * g] = F(\alpha)G(\alpha)$ و تبدیل معکوس فوریه

تبدیل فوریه کسینوسی نمایی یک‌طرفه ($\mathcal{F}_c[e^{-ax}]$)

تبدیل‌های سینوسی و کسینوسی

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = e^{-ax}

تبدیل فوریه F(α):

F_c(\alpha) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty e^{-ax}\cos(\alpha x) dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{a}{a^2 + \alpha^2}

مقدار DC:

F_c(0) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{a}

روش: انتگرال کسینوسی استاندارد نیم‌خط و فرمول تبدیل معکوس $f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty F_c(\alpha)\cos(\alpha x)d\alpha$

تبدیل فوریه سینوسی نمایی یک‌طرفه ($\mathcal{F}_s[e^{-ax}]$)

تبدیل‌های سینوسی و کسینوسی

حوزه مکان / زمان f(x):

f(x) = e^{-ax}

تبدیل فوریه F(α):

F_s(\alpha) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty e^{-ax}\sin(\alpha x) dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\alpha}{a^2 + \alpha^2}

مقدار DC:

F_s(0) = 0

روش: انتگرال سینوسی استاندارد نیم‌خط و فرمول تبدیل معکوس $f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty F_s(\alpha)\sin(\alpha x)d\alpha$

جزئیات تحلیلی جفت انتخابی

پالس مستطیلی متقارن (Gate / Rect Function)

ضابطه در حوزه مکان f(x):

p_a(x) = \begin{cases} 1 & |x| < a \\ 0 & |x| > a \end{cases}

شرط پارامتر:

a > 0

تبدیل فوریه در حوزه فرکانس F(α):

F(\alpha) = \frac{2\sin(a\alpha)}{\alpha} = 2a\,\operatorname{sinc}\left(\frac{a\alpha}{\pi}\right)

مقدار در مبدأ فرکانس (مساحت کل):

F(0) = 2a

اتحاد انرژی پارسوال:

\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx = 2a

روش اثبات و استخراج:

انتگرال مستقیم تعریف روی بازه $[-a, a]$ و ساده‌سازی به کمک فرمول اویلر

کاربرد عملی در مهندسی:

پالس کلیدزنی در مدارهای دیجیتال، پنجره‌بندی زمانی و ایجاد پدیده گیبس در فیلترهای ایده‌آل

موتور حل تشریحی و گام‌به‌گام معادلات (تبدیل فوریه و قضایای کاربردی آن (Fourier Transform Handbook))

تمامی مراحل انتگرال‌گیری جزء به جزء، جایگذاری حدود و ساده‌سازی‌های مثلثاتی به صورت کامل و استاندارد نمایش داده شده‌اند

صورت مسئله (مثال‌های ۱۸ و ۲۴ جزوه (صفحات ۶۰ و ۷۳)):

نمایش گام 4 از 4

الف) تبدیل فوریه پالس مستطیلی متقارن $p_a(x) = \begin{cases} 1 & |x| < a \\ 0 & |x| > a \end{cases}$ ( $a > 0$ ) را با باز کردن کامل انتگرال محاسبه کنید. ب) با استفاده از قضیه تقارن، تبدیل فوریه تابع سینک $g(x) = \frac{\sin(ax)}{x}$ را تعیین کنید. ج) با اعمال قضیه معکوس فوریه، مقدار انتگرال ناسره دیریکله $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin\alpha}{\alpha}\,d\alpha$ را استخراج نمایید.

p_a(x) = \begin{cases} 1 & |x| < a \\ 0 & |x| > a \end{cases} \implies \text{Find } \mathcal{F}[p_a(x)] \; , \; \mathcal{F}\left[\frac{\sin(ax)}{x}\right] \; , \; \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin\alpha}{\alpha}\,d\alpha

گام ۱: نوشتن انتگرال تعریف تبدیل فوریه پالس مستطیلی

چون تابع فقط در بازه $[-a, a]$ غیرصفر و برابر ۱ است، حدود انتگرال به $[-a, a]$ محدود می‌شود:

F(\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty} p_a(t)\,e^{-i\alpha t}\,dt = \int_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-i\alpha t}\,dt

گام ۲: محاسبه پادمشتق نمایی و تبدیل به فرم سینوسی

پادمشتق $e^{-i\alpha t}$ برابر $\frac{e^{-i\alpha t}}{-i\alpha}$ است. با قرار دادن کران‌ها داریم:

F(\alpha) = \left[ \frac{e^{-i\alpha t}}{-i\alpha} \right]_{-a}^{a} = \frac{e^{-i a\alpha} - e^{i a\alpha}}{-i\alpha} = \frac{e^{ia\alpha} - e^{-ia\alpha}}{i\alpha} = \frac{2i\sin(a\alpha)}{i\alpha} = \frac{2\sin(a\alpha)}{\alpha}

در

\alpha = 0

با قاعده هوپیتال داریم

F(0) = 2a

که دقیقاً برابر مساحت مستطیل به عرض

2a

و ارتفاع ۱ است.

گام ۳: اعمال قضیه تقارن برای تبدیل فوریه تابع سینک

طبق قضیه تقارن $\mathcal{F}[f(x)] = F(\alpha) \implies \mathcal{F}[F(x)] = 2\pi f(-\alpha)$ . در اینجا $F(x) = \frac{2\sin(ax)}{x}$ و $f(x) = p_a(x)$ زوج است ( $p_a(-\alpha) = p_a(\alpha)$ ). بنابراین:

\mathcal{F}\left[ \frac{2\sin(ax)}{x} \right] = 2\pi p_a(\alpha) \implies 2\,\mathcal{F}\left[ \frac{\sin(ax)}{x} \right] = 2\pi p_a(\alpha) \implies \mathcal{F}\left[ \frac{\sin(ax)}{x} \right] = \pi p_a(\alpha) = \begin{cases} \pi & |\alpha| < a \\ 0 & |\alpha| > a \end{cases}

گام ۴: اعمال فرمول تبدیل معکوس در $x=0$ برای محاسبه انتگرال دیریکله

طبق فرمول معکوس $f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\alpha) e^{i\alpha x} d\alpha$ ، برای پالس مستطیلی با $a=1$ در مبدأ پیوستگی $x=0$ داریم $f(0) = 1$ :

f(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\sin\alpha}{\alpha} e^{i 0} d\alpha = 1 \implies \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin\alpha}{\alpha}\,d\alpha = 1 \implies \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin\alpha}{\alpha}\,d\alpha = \pi

جواب نهایی استخراج‌شده:

\mathcal{F}[p_a(x)] = \frac{2\sin(a\alpha)}{\alpha} \; , \; \mathcal{F}\left[\frac{\sin(ax)}{x}\right] = \begin{cases} \pi & |\alpha| < a \\ 0 & |\alpha| > a \end{cases} \; , \; \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin\alpha}{\alpha}\,d\alpha = \pi

درس‌نامه و روابط مرجع بخش ۴ (جزوه ریاضیات مهندسی):

درس‌نامه: ۱. گذار از انتگرال به تبدیل فوریه مختلط، فرمول معکوس و طیف اندازه و فاز

صفحات ۷۲ تا ۷۵

تبدیل فوریه شکل نمایی فشرده و جبری انتگرال فوریه است که سیگنال‌های نامتناوب $f(x) \in L^1(\mathbb{R})$ را به حوزه فرکانس پیوسته $\alpha$ نگاشت می‌دهد. با استفاده از فرمول اویلر $e^{-i\alpha t} = \cos(\alpha t) - i\sin(\alpha t)$ ، تابع حقیقی به طیف مختلط $F(\alpha) = |F(\alpha)|e^{i\theta(\alpha)}$ با طیف دامنه زوج و طیف فاز فرد تبدیل می‌شود.

متن تشریحی درس‌نامه (منطق ریاضی و فیزیکی):

تبدیل فوریه مختلط تکامل‌یافته‌ترین و متداول‌ترین ابزار آنالیز فرکانسی در علوم مهندسی است. با بهره‌گیری از فرمول اویلر $e^{-i\alpha x} = \cos(\alpha x) - i\sin(\alpha x)$ ، دو مؤلفه کسینوسی و سینوسی در یک عبارت مختلط واحد ادغام می‌شوند: $\mathcal{F}\{f(x)\} = F(\alpha) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\alpha x}dx$ .

تابع $F(\alpha)$ یک تابع مختلط از متغیر فرکانسی $\alpha$ است که می‌توان آن را به صورت اندازه و فاز نوشت: $F(\alpha) = |F(\alpha)|e^{i\theta(\alpha)}$ . اندازه $|F(\alpha)|$ را «طیف دامنه» (Amplitude Spectrum) و زاویه $\theta(\alpha) = \arg F(\alpha)$ را «طیف فاز» (Phase Spectrum) سیگنال می‌نامند.

فرمول بازسازی معکوس تبدیل فوریه به صورت زیر است: $\mathcal{F}^{-1}\{F(\alpha)\} = f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\alpha)e^{i\alpha x}d\alpha$ . توجه نمایید که علامت توان نمایی در تبدیل مستقیم منفی ( $-i\alpha x$ ) و در تبدیل معکوس مثبت ( $+i\alpha x$ ) است و ضریب $\frac{1}{2\pi}$ در فرمول معکوس جبران انتگرال‌گیری در کل پهنای باند فرکانسی را بر عهده دارد.

دام‌های تستی و خطاهای رایج در آزمون‌ها:

اشتباه در علامت توان تابع نمایی: تبدیل مستقیم دارای توان منفی

-i\alpha x

و معکوس دارای توان مثبت

+i\alpha x

است.

فراموش کردن ضریب

\frac{1}{2\pi}

در تبدیل معکوس: در صورت فراموشی این ضریب، دامنه سیگنال بازیابی‌شده

2\pi

برابر بزرگ‌تر از واقعیت خواهد بود.

کاربردهای مهندسی و صنعتی در دنیای واقعی:

طراحی آنتن‌های مخابراتی: الگوی تشعشع میدان دور آنتن دقیقاً برابر با تبدیل فوریه دوبعدی توزیع جریان روی دهانه آنتن است.

سیستم‌های تصویربرداری تشدید مغناطیسی پزشکی (MRI) که مستقیماً در حوزه فرکانس (K-space) داده‌برداری می‌کنند و با تبدیل فوریه معکوس تصویر بدن را می‌سازند.

مفاهیم کلیدی و اصول تحلیلی:

اگر

f(x)

تابعی حقیقی باشد،

F(-\alpha) = \overline{F(\alpha)}

است (تقارن هرمیتی)؛ بنابراین اندازه

|F(\alpha)|

همواره تابعی زوج و فاز

\theta(\alpha)

همواره تابعی فرد است.

در نقاط ناپیوستگی جهشی، تبدیل معکوس فوریه دقیقاً به مقدار میانگین جهش دیریکله

\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

همگرا می‌شود.

روابط و فرمول‌های مرجع (صفحات ۷۲ تا ۷۵):

تعریف مستقیم تبدیل فوریه (منطبق با قرارداد استاندارد مهندسی جزوه دکتر طائری)

F(\alpha) = \mathcal{F}\big[f(x)\big] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\alpha t}\,dt \quad (\alpha \in \mathbb{R})

شرط وجود تبدیل: تابع $f(x)$ باید بر کل خط حقیقی انتگرال‌پذیر مطلق باشد: $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\,dx < \infty$ .

فرمول تبدیل فوریه معکوس (Inverse Fourier Transform)

f(x) = \mathcal{F}^{-1}\big[F(\alpha)\big] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\alpha)\,e^{i\alpha x}\,d\alpha

دقت کنید که در قرارداد مرجع جزوه، ضریب نرمال‌سازی $\frac{1}{2\pi}$ در انتگرال معکوس قرار داده شده و توان نمایی تبدیل مستقیم $-i\alpha t$ است.

ارتباط تبدیل فوریه با ضرایب انتگرال فوریه حقیقی

A(\alpha)

B(\alpha)

F(\alpha) = \pi \big[ A(\alpha) - i B(\alpha) \big] \iff A(\alpha) = \frac{1}{\pi} \operatorname{Re} F(\alpha) \quad , \quad B(\alpha) = -\frac{1}{\pi} \operatorname{Im} F(\alpha)

مقدار تبدیل در فرکانس صفر (DC Component)

F(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt = \text{مساحت جبری کل زیر نمودار تابع در حوزه مکان}

خودآزمایی مفهومی و امتحانی (بخش ۴)

درک خود از مفاهیم این بخش را با پاسخ به پرسش‌های استاندارد کارشناسی مهندسی بسنجید

پرسش 1:

اگر تبدیل فوریه تابع $f(x)$ برابر $F(\alpha)$ باشد، تبدیل فوریه تابع $f(x - 3)$ کدام است؟

پرسش 2:

در حل یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی روی نیم‌خط $x > 0$ ، اگر شرط مرزی به صورت مشتق در مبدأ $u_x(0, t)$ داده شده باشد، کدام تبدیل فوریه مناسب‌تر است؟

پرسش 3:

طبق قضیه کانولوشن زمان، تبدیل فوریه حاصل کانولوشن دو تابع $\mathcal{F}\{(f * g)(x)\}$ برابر کدام گزینه است؟

پرسش 4:

اگر تبدیل فوریه $f(x) = e^{-|x|}$ برابر $F(\alpha) = \frac{2}{1+\alpha^2}$ باشد، طبق قضیه تقارن تبدیل فوریه $g(x) = \frac{1}{1+x^2}$ برابر کدام است؟

پرسش 5:

تبدیل فوریه تابع $h(x) = x e^{-2x^2}$ با کدام فرمول زیر برابر است؟

پرسش 6:

کدام گزینه درباره تبدیل فوریه تابع دلتای دیراک $\delta(x)$ و تابع پله هویساید $u(x)$ صحیح است؟

تبدیل فوریه و قضایای کاربردی آن (Fourier Transform Handbook)

جزوه جامع و شبیه‌ساز تحلیلی تبدیل فوریه و قضایای بنیادین

آرشیو کامل ۱۶ جفت تبدیل فوریه با فرمول دقیق، خواص، کاربرد و انرژی پارسوال

پالس مستطیلی متقارن (Gate / Rect Function)

تابع برش فرکانسی سینک (Sinc Function)

نمایی دوطرفه متقارن (Laplace Distribution)

تابع لورنتس / کوشی (Lorentzian Profile)

نمایی یک‌طرفه علّی (Causal Exponential)

نمایی دوطرفه فرد (Sign Damped Exponential)

تابع گاوسی (Gaussian Wavepacket / Heat Kernel)

پالس مثلثی متقارن (Triangle Pulse / Bartlett)

ضرب مکان در نمایی دوطرفه (Frequency Derivative $x f(x)$)

ضرب مکان توان دو در نمایی دوطرفه ($x^2 f(x)$)

مدولاسیون کسینوسی نمایی (Cosine Modulation)

مدولاسیون سینوسی نمایی (Sine Modulation)

تابع ضرب مکان در گاوسی ($x e^{-ax^2}$)

کانولوشن دو تابع نمایی ($(e^{-a|x|} * e^{-a|x|})$)

تبدیل فوریه کسینوسی نمایی یک‌طرفه ($\mathcal{F}_c[e^{-ax}]$)

تبدیل فوریه سینوسی نمایی یک‌طرفه ($\mathcal{F}_s[e^{-ax}]$)

پالس مستطیلی متقارن (Gate / Rect Function)

موتور حل تشریحی و گام‌به‌گام معادلات (تبدیل فوریه و قضایای کاربردی آن (Fourier Transform Handbook))

گام ۱: نوشتن انتگرال تعریف تبدیل فوریه پالس مستطیلی

گام ۲: محاسبه پادمشتق نمایی و تبدیل به فرم سینوسی

گام ۳: اعمال قضیه تقارن برای تبدیل فوریه تابع سینک

گام ۴: اعمال فرمول تبدیل معکوس در x=0x=0x=0 برای محاسبه انتگرال دیریکله

درس‌نامه: ۱. گذار از انتگرال به تبدیل فوریه مختلط، فرمول معکوس و طیف اندازه و فاز

خودآزمایی مفهومی و امتحانی (بخش ۴)

گام ۴: اعمال فرمول تبدیل معکوس در $x=0$ برای محاسبه انتگرال دیریکله